动态规划框架

Echo in Beijing

2020-09-03

从整体到细节，自顶向下，从抽象到具体的框架思维是通用的，不只是学习数据结构和算法，学习其他任何知识都是高效的。

# 动态规划问题的特点

求解动态规划的核心问题是穷举，但动态规划问题一般都存在重叠子问题，而一般暴力穷举的效率都是极低的，因此需要 DP table （存储一些中间结果）来聪明地穷举，就可以避免不必要的计算。

另一方面，动态规划问题一定具备最优子结构，来保证通过子问题得到的最优解是原问题的最优解。

此外，最重要的就是列出正确的状态转移方程，这样才能够正确地穷举。

# 动态规划问题框架

但是如何列出正确的状态转移方程呢？可以参考如下思路：

明确 base case
明确状态
明确选择
定义 dp 函数及含义

由此，可以得到如下框架：

# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值:
    for 状态2 in 状态2的所有取值:
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1, 选择2, ...) # 此处通常用循环迭代求最值

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# 优化求解过程

一般按照状态转移方程写出来的都是递归的代码，

降低时间复杂度：消除冗余计算，用 DP table 存储中间结果，同时可以将递归改成循环迭代
降低空间复杂度：研究 DP table 的依赖关系，若当前值的计算只是依赖邻近的几个值，可以考虑用几个变量替换 DP table

# 应用例子

斐波那契、找零钱、扔鸡蛋等都是很经典的例子，而且，一般涉及到子序列问题，十有八九都需要动态规划来解决。

⚠️ 而且！！解决两个字符串的动态规划问题，一般都是用两个指针 i, j 分别指向两个字符串的最后，然后一步步往前走，缩小问题的规模。

子集背包问题继承了 0-1 背包问题的思想，求解的是最优的装法，很容易解决。而完全背包问题其差异在于物品个数无限，求解的是所有的装法，这时就要修改状态转移关系。

// 0-1 背包问题，求解最大价值装法，子集背包问题思路类似
// dp[i][j] 代表前 i 个物品，在容量限制为 j 的情况下的最大价值
dp[i][j] = dp[i-1][j] // 物品 i 装不下，就不装
        = dp[i-1][j-w[i]] + v[i] // 物品 i 装得下，一定装

// 完全背包问题，求解所有装法
// dp[i][j] 代表前 i 个物品，恰好装满容量为 j 的背包的装法
dp[i][j] = dp[i-1][j] // 物品 i 装不下，就不装
        = dp[i][j-w[i]] + dp[i-1][j] // 物品 i 装得下，分两种情况：装/不装

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此外，这里还有一个系列性的例子：买卖股票问题。

买卖股票问题一般定义为，有一系列股价，问最多交易 K 次的最大收益（可以不交易）。

该问题的选择有三个：买、卖、无操作，状态有三个：天数、允许交易的最大次数和当天的持有状态，因此需要一个三维数组存储状态 dp[i][k][s]：

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

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举个例子，dp[2][1][0] 代表第 2 天，允许交易的最大次数为 1，此时不持有股票。想清楚了这个，就可以写出状态转移方程：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
              max(   选择 rest  ,             选择 sell    )

解释：今天我没有持有股票，有两种可能：
要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
              max(   选择 rest  ,           选择 buy         )

解释：今天我持有着股票，有两种可能：
要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。

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注意 k 的限制，这里选择 buy 的时候，把 k 减小了 1，当然你也可以在 sell 的时候减 1，只是不要重复就好。

关于 base case 的设定，分别考虑天数为负和 k 为 0 的情况：

dp[-1][k][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。

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有了这套框架，应该是可以解决一系列股票买卖问题了，具体参考这里。